三方决斗（Truel）胜率博弈分析

1. 初始设定与规则

        玩家 A： 命中率 \( 50\% \)，第 1 顺位开火。
玩家 B： 命中率 \( 80\% \)，第 2 顺位开火。
玩家 C： 命中率 \( 100\% \)，第 3 顺位开火。
前提： 所有玩家均完全理性，采取使自身存活率最大化的最优策略。

    

由于 A 是首位行动，他面临以下抉择：

若 A 瞄准并击杀 B： 下一轮由 C 行动。C 命中率为 \( 100\% \)，A 必定阵亡。
若 A 瞄准并击杀 C： 下一轮由 B 行动。B 有 \( 80\% \) 的概率击杀 A。
最优解： A 主动放弃射击（放空枪/瞄准空地）。这样可以保全场上最具威胁的 B 和 C，迫使他们在后续轮次互相残杀，从而将自己置于最后单挑时“先手开火”的绝对有利位置。

在 A 放空枪后，轮到第 2 顺位的 B 行动。为了自保，B 必然会优先瞄准命中率 \( 100\% \)、对自己威胁最大的 C 射击。

C 阵亡，进入 A 与 B 的单挑阶段。由于刚刚是 B 开火，此时轮到 A 先手开火。设在此无限回合单挑中，A 最终获胜的概率为 \( x \)：

\begin{aligned} x &= 0.5 + 0.5 \times (1 - 0.8) \times x \\ x &= 0.5 + 0.1x \\ 0.9x &= 0.5 \\ x &= \frac{5}{9} \end{aligned}

C 存活并获得开火权。C 同样会优先击杀威胁最大的 B（命中率 \( 100\% \)），B 必定阵亡。随后进入 A 与 C 的单挑阶段，轮到 A 先手开火。

此时 A 只有一次开火求生的机会，若 A 未击中（\( 50\% \) 概率），C 下一发必然 \( 100\% \) 击杀 A。

结合上述分支的发生概率，计算三名玩家的总胜率：

玩家 A (\( 50\% \)) 获胜概率：

0.8 \times \frac{5}{9} + 0.2 \times 0.5 = \frac{40}{90} + \frac{9}{90} = \frac{49}{90} \approx 54.44\%

玩家 B (\( 80\% \)) 获胜概率：

0.8 \times \frac{4}{9} + 0.2 \times 0 = \frac{32}{90} \approx 35.56\%

玩家 C (\( 100\% \)) 获胜概率：

0.8 \times 0 + 0.2 \times 0.5 = \frac{9}{90} = 10.00\%

\[ P(A) = \frac{49}{90} \approx 54.44\% \; > \; P(B) = \frac{32}{90} \approx 35.56\% \; > \; P(C) = \frac{9}{90} = 10.00\% \]