因式分解：十字相乘法
核心问题：
对多项式 \( 6x^2 + 13xy + 6y^2 \) 进行因式分解。
对多项式 \( 6x^2 + 13xy + 6y^2 \) 进行因式分解。
一、系数拆解分析
对于二次三项式 \( ax^2 + bxy + cy^2 \)，我们需要找到系数之间的关系。
- 二次项系数 6：可以拆解为 \( 1 \times 6 \) 或 \( 2 \times 3 \)。
- 常数项（\(y^2\)项）系数 6：同样可以拆解为 \( 1 \times 6 \) 或 \( 2 \times 3 \)。
- 中间项系数 13：我们需要通过交叉相乘再相加得到 13。
二、十字相乘图解
经过尝试，我们将二次项 \( 6x^2 \) 拆解为 \( 2x \) 和 \( 3x \)，将 \( y^2 \) 项 \( 6y^2 \) 拆解为 \( 3y \) 和 \( 2y \)。
图 1：十字相乘法运算过程
验证过程
根据图示进行交叉相乘和求和验证：
\[
\begin{aligned}
\text{交叉相乘 1:} & \quad 2x \cdot 2y = 4xy \\
\text{交叉相乘 2:} & \quad 3x \cdot 3y = 9xy \\
\text{求和:} & \quad 4xy + 9xy = 13xy
\end{aligned}
\]
计算结果 \( 13xy \) 正好等于原式中间项的系数，说明拆分正确。
三、最终结论
根据十字相乘的结果，我们将第一行的两项结合，第二行的两项结合，即可得到因式分解的结果。
\[ 6x^2 + 13xy + 6y^2 = (2x + 3y)(3x + 2y) \]