为什么正方体的展开图有11种？
核心分类讨论：主链分析法
第1类：主链为 4 个正方形（“1-4-1”型）
这是最常见的一类。想象中间有 4 个正方形连成一排，构成立方体的四个侧面。剩下的 2 个正方形（底面和顶面）必须分别位于主链的两侧。
分类讨论：
1. 如果两个面都在同一侧，折叠后会重叠，无法成盒。
2. 如果两个面在两侧，固定其中一个，另一个可以在对侧的 4 个位置移动。
3. 通过旋转和翻转去重后，共有 6 种 不同的形态。
1. 如果两个面都在同一侧，折叠后会重叠，无法成盒。
2. 如果两个面在两侧，固定其中一个，另一个可以在对侧的 4 个位置移动。
3. 通过旋转和翻转去重后，共有 6 种 不同的形态。
第2类：主链为 3 个正方形（“2-3-1”或“1-3-2”型）
如果主链只有 3 个正方形，那么剩下的 3 个面必须通过某种方式挂在主链上，且不能形成连续的 4 个面。
- 由于主链只有 3 个，必须有一侧挂 2 个面，另一侧挂 1 个面。
- “挂着的 2 个面”必须是“L”型连接，不能排成一线。
- 这一类共有 3 种 形态。
第3类：特殊型（“3-3”型）
两排各 3 个正方形错位拼接。这种形状没有任何一排达到 4 个面，它由两个“3 连块”头尾错开 1 个单位相连。这是唯一的 1 种 形态。
第4类：主链为 2 个正方形（“2-2-2”型）
如果主链最长只有 2 个，图形呈现出一种“阶梯状”。每一个纵列和横列都不能超过 2 个面。唯一的可能性就是像楼梯一样两两错开，只有 1 种 形态（常被称为“楼梯型”）。
判别准则：三个“避开”
在判断一个平面图是否为正方体展开图时，可以利用以下排除法：
- 不含“田”字： 出现 2×2 的方块，折叠必重叠。
- 不含“凹”字： 出现凹字形通常无法闭合。
- 不含“厂”字： 出现厂字形，两端正方形会重叠 。