立体几何拓展：展开图求容积
问题描述
如图 1 所示，这是一个有底无盖容器的平面展开图。其中：
- ① 是边长为 18厘米 的正方形；
- ②、③、④、⑤ 是同样大的等腰直角三角形；
- ⑥、⑦、⑧、⑨ 是同样大的等边三角形。
请问：这个容器折叠复原后的容积是多少毫升？
图 1：容器的平面展开图
思维引导：
直接计算这个形状怪异的容器体积非常困难。试着想象一下，如果我们往这个容器里灌满水，水的形状会是什么样？它是否像是某个规则图形被“切”了几刀？
直接计算这个形状怪异的容器体积非常困难。试着想象一下，如果我们往这个容器里灌满水，水的形状会是什么样？它是否像是某个规则图形被“切”了几刀？
答案
2430 毫升
数学思想解析：补形法 (Complementary Method)
这道题是“转化与化归”思想的经典应用。与其费力去分割计算这个不规则多面体，不如通过“补形”将其还原为一个规则的长方体，再减去多余的部分。
步骤一：构建空间模型
想象出这个容器折叠后的样子：它其实是一个底面为正方形的长方体，被切掉了四个角。
- 补全后的长方体： 以正方形 ① 为底，高度是多少呢？观察等腰直角三角形 ②，其斜边为正方形边长 18，根据等腰直角三角形性质，其直角边（腰长）为 9，高也为 9。因此，补全后的长方体底面边长为 18，高为 9。
- 切掉的部分： 长方体的四个角各被切掉了一个三棱锥。切面就是图中的等边三角形 ⑥⑦⑧⑨。
图 2：补全为长方体并切去四个角锥
步骤二：计算求解
根据补形法的逻辑，容器容积 = 完整长方体体积 - 4 × 切去的角锥体积。
1. 完整长方体体积：
$$ V_{\text{长方体}} = \text{底面积} \times \text{高} = 18 \times 18 \times 9 = 2916 $$
2. 切去的四个三棱锥体积：
每个切去的三棱锥，其底面是腰长为 9 的等腰直角三角形，高也是 9。
$$ V_{\text{单锥}} = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高} $$
$$ V_{\text{单锥}} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times 9 \times 9) \times 9 = \frac{243}{2} = 121.5 $$
$$ 4 \times V_{\text{单锥}} = 4 \times 121.5 = 486 $$
3. 最终容积：
$$ V_{\text{容器}} = 2916 - 486 = 2430 \text{ (毫升)} $$
妙解点拨（比例法）：
实际上，切去的 4 个角锥总体积，恰好占整个长方体体积的 $\frac{1}{6}$。因此，剩下的体积就是长方体的 $\frac{5}{6}$。
$$ 18 \times 18 \times 9 \times \frac{5}{6} = 2430 $$
实际上，切去的 4 个角锥总体积，恰好占整个长方体体积的 $\frac{1}{6}$。因此，剩下的体积就是长方体的 $\frac{5}{6}$。
$$ 18 \times 18 \times 9 \times \frac{5}{6} = 2430 $$