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博物馆行程问题 (Museum Trip Problem)

问题描述

姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行。他们面临一个决策问题：是先回家取车再骑到博物馆，还是直接从公园门口步行走到博物馆？

已知条件： 骑车与步行的速度比为 \( 4:1 \)。

问题： 公园门口到他们家的距离是多少千米？

数学建模与解答

1. 寻找“临界点”

题目中给出了一个关键的分界线：2千米。这意味着，当公园到博物馆的距离恰好为 2 千米时，两种方案（“直接走过去”和“回家取车”）所花费的时间是相等的。

2. 设定变量

设家和公园的距离是 \( x \) 千米。

设步行的速度为 \( v \)，那么根据速度比 \( 4:1 \)，骑车的速度为 \( 4v \)。

3. 列出方程

根据“时间相等”这一条件，我们可以列出方程：

• 方案一（直接步行）： 路程是 2 千米，速度是 \( v \)。
  用时 \( T_1 = \frac{2}{v} \)。
• 方案二（回家取车）：
  • 先步行回家：路程是 \( x \) 千米，速度是 \( v \)。用时 \( \frac{x}{v} \)。
  • 再骑车去博物馆：路程是 \( x + 2 \) 千米（从家经过公园到博物馆），速度是 \( 4v \)。用时 \( \frac{x+2}{4v} \)。
  总用时 \( T_2 = \frac{x}{v} + \frac{x+2}{4v} \)。

令 \( T_1 = T_2 \)，得：

4. 求解方程

两边同时消去 \( v \)（因为 \( v \neq 0 \)），得到关于 \( x \) 的一元一次方程：

两边同时乘以 4：

化简：

最终结论