探秘彩虹：背后的优雅数学与光学模型

1. 核心物理定律：Fermat原理与Snell定律

太阳光经过雨滴时会发生折射和反射，为解释彩虹形成的原因，我们需要首先了解光线经过不同的介质时是如何发生折射和反射的。 1657年,数学家皮费马(Fermat)提出了著名的 Fermat原理：光总是沿着所需时间最少的路径传播。

• 反射定律：通过对距离函数求极值，我们得出对于光的反射来说, 入射角等于反射角。
• 折射定律（Snell定律）：早在1621年，荷兰学者Snell就通过实验手段得到了这个结果。 对于光的折射来说, 入射角的正弦与折射角的正弦之比为常数： $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{c_a}{c_w} = k$。

2. 光在雨滴内的奇妙旅行：两次折射与一次反射

阳光通过空气射入假设为球体的雨滴，一部分光线经过折射进入雨滴，在雨滴内经过一次反射，再经过一次折射返回空气。 我们把光线经过雨滴的这种过程称为一次“反射”途径。

光线从进入到离开雨滴，经过了三次角度偏转：

• 第一次折射（进入雨滴）：角度变化了 $\alpha-\beta$
• 内部反射：角度改变了 $180^\circ-2\beta$
• 第二次折射（离开雨滴）：角度再次变化了 $\alpha-\beta$

3. 微积分的魔法：寻找虹角与光锥的诞生

转折角度 $D(\alpha)$ 越大，越容易被地面上的人观察到。 为了求 $D(\alpha)$ 的最小值，我们结合 Snell 定律对其求导数并令之为0： $D'(\alpha) = 2 - \frac{4\cos\alpha}{k\sqrt{1-(\frac{\sin\alpha}{k})^2}} = 0$。

因为雨滴主要由水构成， $k \approx 1.33$ ，解得当入射角 $\alpha^* \approx 59.6^\circ$ 时，转折角取得最小值 $D(\alpha^*) \approx 137.5^\circ$。 这意味着阳光经过“反射”路径形成的夹角为 $180^\circ - 137.5^\circ = 42.5^\circ$ ，我们称这个极具物理意义的角度为虹角。

4. 色散法则：为什么总是红光在上，紫光在下？

阳光的本质是电磁波, 包含连续波长的光谱。不同的光谱的颜色不同，在水中的折射率也不同。 根据折射率的不同，它们形成的虹角也存在微小差异：

• 红光：折射率 $k=1.3318$ ，形成的反射转折角最小，约 $137.7^\circ$ 。
• 紫光：折射率 $k=1.3435$ ，形成的反射转折角最大，约 $139.4^\circ$ 。

由于这个物理特性，人们见到的彩虹总是红光在最上面，紫光在最下面，各种颜色的圆弧的次序为赤橙黄绿青蓝紫。