如果全平面只允许使用 1 种正 $n$ 边形，假设每个顶点周围环绕了 $k$ 个这样的正 $n$ 边形。
正 $n$ 边形的内角公式为：$180^\circ \times (1 - \frac{2}{n})$。围绕一点的内角和必须等于 $360^\circ$：
两边同除以 $180^\circ$ 并展开得到：
因为 $k$ 和 $n$ 都必须是正整数，且多边形最少有 3 条边（$n \ge 3$），所以 $n-2$ 必须是 4 的约数（只能是 1, 2, 4）。具体推演结果如下表：
| 代数约束解 | 使用的正多边形 ($n$) | 围绕顶点的个数 ($k$) | 结论构型 |
|---|---|---|---|
| $n-2 = 1$ | 3 (正三角形) | 6 | (3.3.3.3.3.3) |
| $n-2 = 2$ | 4 (正方形) | 4 | (4.4.4.4) |
| $n-2 = 4$ | 6 (正六边形) | 3 | (6.6.6) |
结论：只用 1 种正多边形，有且仅有 3 种解答。
假设顶点处有 $a$ 个正 $m$ 边形和 $b$ 个正 $n$ 边形，且 $m \neq n$。内角和方程为：
化简后即得到核心方程公式：
通过解这个非线性丢番图方程（限制 $a, b \ge 1$ 且 $m, n \ge 3$），会得出 6 组正整数解。具体推演结果如下表：
| 方程解 ($a, b$) | 边数变量 ($m, n$) | 几何拓扑说明 | 结论构型 |
|---|---|---|---|
| $a=4, b=1$ | $m=3, n=6$ | 4 个正三角形，1 个正六边形 | (3.3.3.3.6) |
| $a=2, b=2$ | $m=3, n=6$ | 2 个正三角形，2 个正六边形 | (3.6.3.6) |
| $a=3, b=2$ | $m=3, n=4$ | 3 个正三角形，2 个正方形 | 可衍生 (3.3.3.4.4) 或 (3.3.4.3.4) 两种拓扑 |
| $a=1, b=2$ | $m=3, n=12$ | 1 个正三角形，2 个正十二边形 | (3.12.12) |
| $a=1, b=2$ | $m=4, n=8$ | 1 个正方形，2 个正八边形 | (4.8.8) |
| $a=1, b=2$ | $m=10, n=5$ | 1 个正十边形，2 个正五边形 | 几何上无法铺满平面，剔除 |
结论：只用 2 种正多边形，有且仅有 6 种解答。
设顶点周围共有 $V$ 个多边形（$V \ge 3$），它们的边数分别为 $n_1, n_2, \dots, n_V$。内角和方程为：
化简得到核心极值方程：
因为必须严格包含 3 种不同的多边形，代数排查与拓扑闭合的结果如下表：
| 顶点图形总数 ($V$) | 当前方程状态 | 拓扑法则约束解析 | 结论构型 |
|---|---|---|---|
| 情况 A: $V=3$ | $\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} = \frac{1}{2}$ | 纯代数有多种解（如 3,7,42 等），但根据拓扑奇偶法则（三个图形共点交替，边数必须全为偶数），唯一存活的解是 $n_1=4, n_2=6, n_3=12$。 | (4.6.12) 大斜方截半六边形密铺 |
| 情况 B: $V=4$ | $\sum_{i=1}^{4} \frac{1}{n_i} = 1$ | 必然有一种材料被用了 2 次。经过代数排查，唯一能让拓扑闭合的解是使用了两个正方形、一个正三角形和一个正六边形。 | (3.4.6.4) 小斜方截半六边形密铺 |
| 情况 C: $V \ge 5$ | $\sum \frac{1}{n_i} = \frac{V - 2}{2}$ | 代数方程在保证有 3 种不同多边形的前提下，无正整数解。 | 无解 |
结论：只用 3 种正多边形，有且仅有 2 种解答。
这是一个极其漂亮且无懈可击的反证法（Limit Proof）。
假设我们试图在一个顶点周围，塞进 4 种不同的正多边形。为了尽可能节省空间以避免超过 $360^\circ$，我们必须选用自然界中内角最小的 4 种不同的正多边形。这 4 种图形只能是：
我们把这 4 个最小的候选者拼在一起，计算它们的内角和：
终极结论：哪怕我们拿出了宇宙中内角最小的 4 种不同正多边形，仅仅拼放 1 个，二维平面的 $360^\circ$ 空间就已经瞬间爆裂了。因此，不需要任何复杂的方程，仅仅通过极限求和就能在物理和几何意义上宣判：用 4 种或 4 种以上的正多边形进行同构密铺，是绝对不可能的。