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中国数学家怎样求出球的体积？

从刘徽的牟合方盖到祖暅原理

【核心问题】

不用微积分，怎样求出一个球的体积？中国数学家借助两个相交的圆柱，把这个问题转化为截面积的比较。设球的半径为 rr，你认为它的体积是（ ）。

一、古法留下的疑问

附件PPT中的刘徽纪念邮票
刘徽纪念邮票
图片选自附件PPT

《九章算术》卷四“少广”记载了由球的体积求直径的“开立圆术”。用现代符号表示，若球的直径为 dd，古法相当于：

d=16V93.d=\sqrt[3]{\frac{16V}{9}}.

反过来，就是用 V旧=916d3V_{\text{旧}}=\dfrac{9}{16}d^3 计算球的体积。这个结果只是近似值。

刘徽在注释中指出，古法对球与圆柱体积关系的处理并不严密。要找到可靠的算法，必须重新分析球的形状。他引入了一个特殊的立体：牟合方盖。

二、刘徽：把球放进牟合方盖

第一步：用两个圆柱构造一个新立体

把半径为 rr 的球放在棱长为 2r2r 的正方体中。在正方体内，沿两个互相垂直的水平方向，各作一个半径为 rr、高为 2r2r 的圆柱，使它们的轴线都经过球心。

两个圆柱的公共部分就是牟合方盖。整个球都包含在这个公共部分里。

半径相同、轴线互相垂直的红色和蓝色圆柱相交

两个等半径圆柱垂直相交

牟合方盖的上半部分，由红蓝两组圆柱面围成

公共部分的上半部分

图1　牟合方盖的构造。两幅图均选自附件PPT。

观察要点：公共部分既不等于整个圆柱，也不等于球。接下来，用水平截面比较球与牟合方盖。

三、从截面积比找到体积比

用一个水平面去截这两个立体。设截面到球心所在水平面的距离为 hh，且 0≤h<r0\le h<r。球的截面是圆，记它的半径为 ρ\rho。由勾股定理：

ρ2+h2=r2,ρ=r2−h2.\rho^2+h^2=r^2,\qquad \rho=\sqrt{r^2-h^2}.

在同一高度，两个圆柱分别限制两个互相垂直方向的宽度，因此牟合方盖的截面是边长为 2ρ2\rho 的正方形。球的截面圆恰好内切于这个正方形。

球的过球心竖直截面，半径r、截面高度h与截面圆半径ρ构成直角三角形 O h ρ r

勾股关系确定截面圆的半径

同一高度的正方形截面中内切一个圆，圆半径ρ，正方形边长2ρ ρ 2ρ

圆与外接正方形的面积比恒定

图2　同高截面的关系示意。下半部分与上半部分关于球心所在水平面对称。
S球=πρ2,S_{\text{球}}=\pi\rho^2,
S牟=(2ρ)2=4ρ2.S_{\text{牟}}=(2\rho)^2=4\rho^2.
【关键关系】

只要截面未退化，圆与正方形的面积比始终为 π:4\pi:4。同高截面的面积之比处处相同，两个立体的体积之比也相同。因此：

V球=π4V牟.V_{\text{球}}=\frac{\pi}{4}V_{\text{牟}}.

球的体积问题，就这样转化为牟合方盖的体积问题。可是，刘徽未能完成牟合方盖的求积。他在注释中留下了“敢不阙疑，以俟能言者”，把尚未解决的问题留待后来者继续研究。

四、祖暅：用一个四棱锥补出答案

后来，祖冲之的儿子祖暅沿着这条思路继续研究。关键在于用“同高截面”比较形状不同的立体。传世《九章算术》的注释记述了这样的原理：

“缘幂势既同，则积不容异。”

祖暅原理：两个等高的立体，如果在任意同一高度，用平行于底面的平面截得的截面积总相等，那么这两个立体的体积也相等。

下面用现代符号说明附件PPT中的几何推导。全过程只需勾股定理、相似关系、四棱锥体积公式和祖暅原理。

第一步：把牟合方盖分成八块

过球心，沿平行于正方体各面的三个对称平面分割牟合方盖，得到八块全等的立体。每一块都放在一个棱长为 rr 的小正方体中。

把其中一块称为内块，小正方体中剩下的部分称为余块。于是：

V内+V余=r3.V_{\text{内}}+V_{\text{余}}=r^3.

第二步：算出余块在任意高度的截面积

从经过球心的小正方体底面向上量，在高度 hh 处作水平截面，其中 0≤h≤r0\le h\le r。内块的截面是边长为 r2−h2\sqrt{r^2-h^2} 的小正方形，所以面积为 r2−h2r^2-h^2。

整个小正方体的截面积是 r2r^2，减去内块，余块的截面积就是：

S余=r2−(r2−h2)=h2.S_{\text{余}}=r^2-(r^2-h^2)=h^2.
左图为小正方体中的八分之一牟合方盖，红色截面属于内块，黄色截面属于余块；右图为顶点朝下的四棱锥，青色截面与黄色截面面积相等
图3　红色截面面积为 r2−h2r^2-h^2，黄色与青色截面的面积均为 h2h^2。
图形节选自附件PPT第6页。

第三步：给余块找一个等体积的四棱锥

取一个底面边长为 rr、高为 rr 的四棱锥，把它倒置，使顶点在下方、正方形底面在上方，并使顶点与小正方体的下底面处在同一高度。

在距顶点的竖直高度 hh 处，四棱锥的截面与底面相似，相似比为 h/rh/r。截面边长为 r×h/r=hr\times h/r=h，面积也为 h2h^2。

余块与四棱锥等高，而且每一高度的截面积都相等。由祖暅原理，二者体积相等：

V余=V锥=13 r2⋅r=13r3.V_{\text{余}}=V_{\text{锥}}=\frac13\,r^2\cdot r=\frac13r^3.

第四步：由一块还原整个牟合方盖

从小正方体中减去余块，就得到内块的体积：

V内=r3−13r3=23r3.V_{\text{内}}=r^3-\frac13r^3=\frac23r^3.

整个牟合方盖由八块这样的立体组成，所以：

V牟=8×23r3=163r3.V_{\text{牟}}=8\times\frac23r^3=\frac{16}{3}r^3.

这一步妙在哪里？余块的外形很复杂，但它在每一高度的截面积都等于 h2h^2。找到具有相同截面积的四棱锥，就能把复杂形体的求积转化为熟悉的计算。

五、回到最初的问题：球的体积

将牟合方盖的体积代入前面得到的体积比，球的体积就求出来了：

V球=π4×163r3.V_{\text{球}}=\frac{\pi}{4}\times\frac{16}{3}r^3.

答案：C

V球=43πr3.\boxed{V_{\text{球}}=\frac43\pi r^3}.

若用直径 d=2rd=2r 表示，则 V球=π6d3V_{\text{球}}=\dfrac{\pi}{6}d^3。

以半径为 11 的单位球为例，牟合方盖的体积是 16/316/3，球的体积是 4π/34\pi/3，约为 4.188794.18879 个立方单位。相比之下，前面的古法得到 9/2=4.59/2=4.5，偏大。

这里的 π\pi 是现代圆周率记号。上述公式用现代符号表达几何关系，实际数值计算还取决于圆周率近似值的精度。

六、带着问题进入互动

进入互动页面，重点观察两个圆柱的公共部分、球与牟合方盖的位置关系，以及同一高度的截面。然后试着回答：

1. 只比较中间一个截面，能断定两个立体等体积吗？

不能。祖暅原理要求两个立体等高，并且每一高度的对应截面积都相等；只在一个高度相等还不够。

2. 半径变成原来的2倍，球的体积变成几倍？

变成 23=82^3=8 倍。因为体积公式中的半径是三次方。

3. 半径为3的球，体积是多少？

代入公式，得 V=43π×33=36πV=\dfrac43\pi\times3^3=36\pi，约为 113.10113.10 个立方单位。

刘徽找到“球与牟合方盖”的联系，祖暅进一步完成“余块与四棱锥”的比较。这个过程展示了中国古代数学中把空间问题转化为平面问题，再由截面积理解体积的思想。

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