七星形顶角求和探索
问题描述
如图，在如图的尖七星形 $ABCDEFG$ 中，求所有 7 个顶角的度数之和：
$$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F + \angle G = ? $$
图 1：尖七星形 $ABCDEFG$
想一想：
这些角分散在图形的各个角落，看起来毫无关联。我们能否通过某种方式，把它们“搬运”到同一个图形里？
这些角分散在图形的各个角落，看起来毫无关联。我们能否通过某种方式，把它们“搬运”到同一个图形里？
思想一：转化与化归思想（外角搬运法）
转化思想是指将未知的、复杂的问题，转化为已知的、简单的问题。在处理星形图时，最常用的武器就是飞镖模型。
- 第一步（找飞镖）： 在星形内部找到包含所求角度的飞镖。
- 第二步（搬运角度）： 利用飞镖模型，例如 $ \angle 1 = \angle A + \angle B + \angle E $，将远处的 $\angle A, \angle B$ 和 $\angle E$ 聚拢到 $ \angle 1$。同理有$ \angle 2 = \angle C + \angle D + \angle G $。
- 第三步（大一统）： 通过连续两次的“飞镖模型搬运”，将分散的 7 个角全部转移到一个核心小三角形$HIF$的三个内角位置上。
图 1：飞镖模型
答案
既然这 7 个角刚好拼满了一个三角形的三个内角，那么它们的和必定等于 $180^\circ$。
思想二：运动与建模思想（米老师拐弯模型）
如果跳出静态的图形，我们可以用动态的视角来审视这道题。想象米老师正沿着七星形的跑步：
每到达一个顶点，米老师都需要转一个弯。在这个顶点处，米老师转过的角度其实是该顶角的外角（即 $180^\circ - \text{顶角}$ ）。
图 2：利用三角形外角定理“搬运”角度
当米老师沿着七星形 $ABCDEFG$ 的轨道开完一整圈回到起点时，我们观察它在空间中转了多少圈：
对于典型的尖七星形，米老师恰好转了 3 个整圈。
根据旋转的总度数，我们可以列出代数方程：
$$ 7 \times 180^\circ - (\angle A + \angle B + \dots + \angle G) = 3 \times 360^\circ $$
化简一下这个神奇的方程，就可以得到：
$$ \angle A + \angle B + \dots + \angle G = 7 \times 180^\circ - 3 \times 360^\circ = 180^\circ $$
通过生活中的物理运动模型，我们精妙地绕过了复杂的几何连线，直接从全局得出了答案。