几何证明中的三个“伟大”发现

例1、任何锐角三角形都是等边三角形

证明过程：如图，设锐角三角形 \(\triangle ABC\) 底边 \(BC\) 的中垂线与 \(\angle A\) 的平分线交于 \(E\) 点。

• 由点 \(E\) 分别向 \(AB, AC\) 作垂线 \(EF, EG\)，可得 \(AF=AG\)，\(EF=EG\)。
• 连结 \(BE, EC\)，可得 \(EB=EC\)。
• 由此可得 \(\triangle BEF \cong \triangle CEG\)，\(FB=GC\)。
• 所以 \(AB = AF+FB = AG+GC = AC\)。同理可证 \(AB=AC\)，故 \(\triangle ABC\) 为等边三角形。

图 1. 示意图

例2、短边夹角大

命题：已知 \(AB>CD\)，\(BC>AD\)，那么短边所夹的角 \(\angle D\) 大于长边所夹的角 \(\angle B\)。

证明过程：如图，

• (1) 作 \(AC\) 的垂直平分线 \(l\)；
• (2) 将 \(\triangle ABC\) 关于 \(l\) 作对称三角形 \(\triangle AB'C\)；
• (3) 那么 \(B'C>CD\)，\(AB'>AD\)，由此可得 \(\angle 1>\angle 2\)，\(\angle 3>\angle 4\)。
• 所以 \(\angle D>\angle B\)。

图 2. 示意图

例3、外接圆切线的判定

命题：如图，已知 \(AD=2DC\)，\(\angle 1=45^\circ\)，\(\angle 2=60^\circ\)，则 \(AB\) 为 \(\triangle BCD\) 外接圆的切线。

证明过程：

• 由 \(\angle 1=45^\circ\)，得 \(\widehat{BD}=90^\circ\)，又 \(\angle 2=60^\circ\)，故 \(\angle 3=120^\circ\)，即 \(\widehat{BEC}=240^\circ\)。
• 因此 \(\angle A = \frac{1}{2}(\widehat{BEC}-\widehat{BD}) = 75^\circ\)。
• 故 \(\angle ABD = 180^\circ-\angle 2-\angle A = 45^\circ\)。
• 故 \(\angle ABD = \angle 1\)，弦切角等于圆周角，所以 \(AB\) 为切线。

图 3. 示意图

分析