这是一道经典的全国初中数学竞赛题：黑板上写有 \( 1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{100} \) 共100个数字。每次操作先从黑板上的数中选取两个数 \( a, b \)，然后删去 \( a, b \)，并在黑板上写上数 \( a+b+ab \)。则经过99次操作后黑板上剩下的数是多少？
如果硬算的话，每次选取的数字不同，得到的结果似乎也会千变万化。但数学的奇妙之处在于，某些特定的运算规则下隐藏着不会随操作改变的“守恒量”。
我们来观察一下这个规则：将 \( a \) 和 \( b \) 替换为 \( a+b+ab \)。
在代数中，有一个非常熟悉的因式分解公式可以与它建立联系：
这个等式告诉我们，每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积保持不变。
这意味着，无论我们怎么选、怎么算，只要把黑板上的所有数字都加上 \( 1 \) 然后乘起来，这个总乘积永远是一个常数！
既然乘积守恒，我们只需要计算最开始的乘积，它就等于最后剩下的数字对应的乘积。
设经过99次操作后黑板上剩下的数为 \( x \)（99次操作后，刚好删掉所有数并留下最后一个），利用我们的“不变量”定律：
将右边每个括号里的式子进行通分计算：
经过美妙的“首尾相消”，中间的分子分母全部约掉，右边只剩下 \( 101 \)。即：
解得 \( x=100 \)。